Dans un monde où le numérique prend une place croissante, le développement des compétences dans le monde du calcul est de plus en plus reconnu comme incontournable.
Les programmes scolaires insistent sur le fait que l’enseignement doit assurer à tous des compétences solides dans le domaine du nombre et du calcul.
Et pourtant, quand on enseigne les mathématiques aujourd’hui, ce n’est pas cette vision positive du calcul qui prédomine mais la vision d’un objet sans noblesse, profondément déstabilisé par l’évolution technologique.

Partie 1 : Lien entre calcul et raisonnement

Ces deux termes paraissent antagonistes.
En effet, le calcul est opposé au raisonnement tant dans les démarches de pensée qu’il met en œuvre que dans les formes d’apprentissage qu’il requiert.

Comment construire des rapports adéquats entre calcul et raisonnement ?

 Exemple 1 : le plus grand produit (décomposition additive INRP 1999)

 Exemples 2 et 3 en classe de quatrième : la double distributivité
 Exemple sur la liaison collège Lycée : le quadrilatère qui tourne

Conclusion de la partie 1

L’intelligence du calcul a trois types de besoins essentiels : répertoire, flexibilité, spécificité.

1. Répertoires

Le répertoire qui fonde l’intelligence du calcul n’est pas seulement un répertoire de résultats numériques et de formules diverses, c’est aussi un répertoire de techniques, de stratégies, de situations, qui constituent la référence et vont permettre, en dehors des situations routinières :

 de faire des choix efficaces de type de calcul,
 de choisir des représentations pertinentes pour les objets engagés dans le calcul et d’interpréter celles qui apparaissent au fil du calcul,
 de faire des anticipations et de piloter le calcul en fonction du but poursuivi,
 de contrôler le calcul en mettant en jeu des critères pertinents et économiques pour ce contrôle, au cours même du calcul ou en fin d’exécution.

Quelques conseils pour la classe :
Les programmes de mathématiques permettent de développer cette intelligence, notamment :

 à travers les activités de calcul mental et réfléchi qui mettent directement en jeu les propriétés des nombres et des opérations,
 à travers les activités d’estimation liées à l’anticipation des résultats ou le contrôle des calculs instrumentés par les calculatrices, le jeu entre calcul exact et approché,
 à travers la planification des calculs qui accompagne nécessairement la résolution de problèmes un peu complexes.

2. Flexibilité

L’intelligence du calcul nécessite aussi de la flexibilité : flexibilité entre cadres
Un cadre est un ensemble d’objets d’une branche des mathématiques, des relations entre ces objets, de leurs formulations éventuellement diverses et des images mentales associées à ces objets et relations. (R. Douady (1986) )
Dans le cas du quadrilatère , même lorsque le calcul est mené dans un cadre algébrique, l’interprétation de ses résultats met en jeu le cadre géométrique dans lequel se situe le problème.
Et, même lorsque l’on reste à l’intérieur d’un même registre, les besoins de flexibilité ne sont pas absents. Dans le registre algébrique, une expression développée donne un accès immédiat au terme de plus haut degré, à la valeur en 0 ; elle ne nous donne pas, sauf exception, un accès facile au signe de l’expression, ce que permet en revanche une expression factorisée.

Quelques conseils pour la classe :
La flexibilité , pour pouvoir s’exercer, nécessite :

 que tout ne soit pas figé, normé dans les pratiques de calcul,
 que l’association tâche-technique ne soit pas trop rigide,
 que les tâches de calcul ne soient pas atomisées en une succession de sous-tâches,
 que l’éventail des formes, des registres, des points de vue rencontrés par l’élève soit suffisamment riche.

3. Intelligence du calcul entre généricité et spécificité

Même s’ils partagent un fond commun, les calculs en combinatoire, en arithmétique, en algèbre, en analyse, en géométrie, en probabilités et en statistiques… ont chacun leur intelligence propre liée aux caractéristiques des objets qu’ils engagent, aux représentations disponibles pour ces objets et à leurs modes de traitement, aux stratégies de calcul spécifiques du domaine…

Partie 2 : Lien entre calcul exact et approché

Depuis les vingt dernières années, les technologies disponibles pour assister le calcul dans l’enseignement secondaire ont été essentiellement des technologies de calcul approché, ceci confortant la rupture entre le monde du calcul exact et celui du calcul approché.
Aujourd’hui, le calcul exact devient accessible sur des calculatrices. C’est peut-être une opportunité pour construire des rapports plus adéquats entre ces deux types de calcul.
On peut, par exemple, chercher comment ces outils peuvent accompagner l’apprentissage du calcul et des mathématiques, devenir pour les élèves de réels instruments mathématiques, en évitant les positions caricaturales.
Les outils de calcul n’empêchent pas d’apprendre à calculer mais il faut pour cela que leur intégration à l’enseignement ne se résume pas à une simple mise à disposition permanente.
On a souvent l’impression que l’accès immédiat aux résultats que ce calcul offre nous prive d’une compréhension qui était portée par l’exécution patiente des gestes de calcul.

Comment faire vivre de façon satisfaisante la complémentarité entre calcul exact et calcul approché ?

 Exemple 1 : Un exemple d’activité en classe de cinquième
 Exemple 2 : Un exemple d’activité en classe de troisième.
 Exemple 3 : Des exemples d’exercices de la sixième à la première
 Exemple 4 : Une erreur classique

Conclusion de la partie 2

Pour pouvoir développer l’intelligence du calcul , il faut sortir des seuls exercices routiniers.
Dans un univers instrumenté (calculatrices logiciels), les calculs les plus simples que les élèves ont à savoir maîtriser sans assistance instrumentale, sont le plus souvent trivialisés par l’instrument de calcul.
Il faut donc oser aller un peu au-delà et l’instrument devient alors un véritable outil de pensée.

Bibliographie :

ARTIGUE M. L’enseignement du calcul aujourd’hui : problèmes, défis et perspectives. Repères – IREM, n°54. p. 23-39., 2004.
ARTIGUE M. acte de l’université d’été de Saint-Flour ; conférence d’ouverture ; Août 2005.
Clarou P. Réflexions à propos de l’utilisation des calculatrices dans l’enseignement. Petit X n°40 1995-1996.
COMBIER, Gérard ; GUILLAUME, J. Claude ; PRESSIAT, André « Les débuts de l’algèbre au collège – Au pied de la lettre ! » ; INRP ; 1996.
Douady.R Jeux de cadres et dialectiques outil-objet dans l’enseignement des Mathématiques. Une réalisation dans tout le cursus primaire.. Histoire et perspectives sur les mathématiques [math.HO]. Université paris VII, 1984. Français.
Kahane J.P. (2002). L’enseignement des sciences mathématiques. Paris : O.Jacob.
Olivier.Y, Bouvier J.P. Calculatrices en Mathématiques. CRDP Poitou – Charentes 1994.
Olivier. Y. La liaison collège-lycée en mathématiques. Les revues pédagogiques de la Mission laïque française. Août 2005.