Quatre champs des programmes sont abordés : les statistiques, les nombres, l’algèbre et les fonctions.

Statistiques

Les statistiques sont des domaines supports d’activités très intéressantes pour faire des reprises d’étude sur les nombres, sur la proportionnalité, sur les représentations graphiques.
Pour les statistiques, il est évident que le travail sur échantillon peut être amorcé au collège. On peut partir d’expérience aléatoire (lancer d’un dé, tirages de cartes). Les élèves réalisent un certain nombre d’expériences et ils peuvent traiter chaque série obtenue. Ils pourront observer la variabilité des échantillons et une certaine « stabilisation » des fréquences sur les grands nombres.
Selon la façon dont sont conçus les exercices sur ce thème, il est important de souligner que même les groupes en moindre réussite parviennent à réaliser la tâche demandée. La définition de l’univers joue cependant un rôle crucial dans la réussite des élèves qui fléchit dès que cette définition n’est plus explicite.

Nombres
Continuité de la droite réelle

Au collège, les nombres (décimaux, entiers relatifs, rationnels et racines carrées) sont souvent vus initialement en tant que solutions d’équations/ de problèmes. Puis ensuite, on apprend aux élèves les techniques pour faire agir sur ces nombres les différentes opérations (addition, soustraction, multiplication, division) ;

Au lycée, on passe de l’étude « discrète » de ces nombres aux propriétés générales des nombres réels. Pour ce faire, il est nécessaire de faire percevoir la « continuité de la droite réelle » ou plutôt la complétude de la droite réelle à travers la notion d’intervalle et la notion d’ordre.

Changement d’approche dans l’ordre des nombres

Au collège, l’ordre des nombres est vu au travers de leurs écritures (ordre lexicographique des décimaux, signe et distance à zéro des relatifs, quotients de même dénominateur ou de même numérateur) ;

Au lycée, l’ordre de deux nombres est défini par le « signe » de leur différence autrement par la place par rapport à zéro de cette différence. Cela nécessite des activités (en fin de troisième et en début de seconde) pour modifier ce point de vue. Cela peut expliquer les apprentissages concernant les fameux « tableaux de signe » en tant que technique pour déterminer selon les valeurs d’une variable, le signe d’une expression algébrique. C’est le passage du registre numéral au registre littéral.

L’algèbre

Aspect procédural et structural d’une expression algébrique

Au collège, une « expression algébrique » comporte deux aspects :

• un programme de calcul ;
• un objet en soi auquel on peut attribuer des propriétés, quant à sa forme.

Le premier aspect est largement cultivé tout au long du collège et sollicite en particulier les « priorités opératoires ». On dit que c’est l’aspect « procédural » de l’expression algébrique ;

Pour le deuxième aspect, les questions sont : quel est le type de l’expression algébrique (somme / produit) ? On demande aussi d’analyser ou de décomposer une expression. C’est l’aspect dit « structural » de l’expression algébrique.

La détermination du type d’expression algébrique est très souvent sollicité au collège, mais il est souvent traité oralement et très vite, avec une forte intervention du professeur ;

Cet aspect structural de l’expression est pourtant fondamental pour le domaine des mathématiques qu’est l’Analyse. Par exemple, reconnaître la forme d’une expression algébrique d’une fonction permet de savoir quelle formule utiliser pour calculer une limite, dériver la fonction ou l’intégrer ;

Cet aspect structural de l’expression peut traduire une propriété de l’objet qu’elle représente. Ainsi par exemple 1+ð ‘¥^2, représente la somme de deux carrés, une expression supérieure à 1, un polynôme du second degré sans racine selon le type de problème à résoudre ;

Transformations d’écriture et règles de calcul

Au lycée, les transformations d’expressions prennent leur sens par le type de problème qu’elles permettent de résoudre. Il en est ainsi des factorisations, des développements, des réductions ou des complexifications. La plupart des élèves agissent en « calculateurs aveugles » ;

S’ajoute également un type nouveau de tâche : substituer, dans une expression, une autre lettre à la lettre ou une expression à la lettre. Cela est particulièrement utile dans le cadre de la composition de fonctions, le calcul de limites, etc.

Complexifier pour simplifier

Evoquons en algèbre par exemple les différents rôles du signe moins :

• cela peut indiquer le signe d’un nombre (-2 indique un nombre négatif) ;
• cela peut indiquer l’opposé d’une expression (−𠑥 indique l’opposé de ð ‘¥) ;
• cela peut indiquer une opération (ð ‘Žâˆ’ð ‘ indique le résultat de la soustraction de ð ‘ à ð ‘Ž, ce que l’on appelle la différence entre ð ‘Ž et ð ‘ ).

Ces changements de registre n’ont pas été perçus par une majorité de nos élèves et spontanément les élèves de seconde répondent que le signe de −𠑥 est négatif ! Ils agissent en « calculateurs aveugles » ;

Sur le même créneau, de ð ‘Žâˆ’ð ‘ =ð ‘Ž+(âˆ’ð ‘ ) (aspect procédural : soustraire c’est ajouter l’opposé) on déduit (facilement ? … pour le professeur mais pour l’élève ?) que ð ‘Ž+ð ‘ =𠑎−(âˆ’ð ‘ ) (aspect structural : une somme peut se transformer en une différence) ;

Inutile et compliqué ? Hélas non ! C’est ce qui est utilisé, par exemple, dans l’étude du signe de ð ‘¥+2 et également pour traduire sa valeur absolue en terme de distance. C’est un geste algébrique nouveau pour un élève de seconde qui est utilisé : la transformation de ð ‘¥+2 en 𠑥−(−2). Comme quoi en algèbre on ne simplifie pas toujours, on complexifie souvent !

Deux exemples pour travailler l’intelligence du calcul (au sens de Michèle Artigue)

Les fonctions

Éviter le « tout affine »

En classe de troisième de collège, l’importance des études des fonctions linéaires et affines est fondamentale pour la suite. En effet, il s’agit tout d’abord d’installer un modèle généralisant les situations de proportionnalité rencontrées, la variable prenant des valeurs « continues » alors que précédemment les tableaux utilisés présentaient des valeurs « discrètes » entières ou décimales, rarement d’autres natures.

Les programmes actuels de cycle 4 incite à ce niveau à présenter d’autres situations non linéaires afin de mieux cerner les limites des modèles étudiés. Il faut éviter le « tout affine » !!

Proportionnalité des accroissements

En classe de seconde, la « reprise d’étude » des fonctions affines et linéaires doit être enrichie de nouveaux aspects :

• Caractérisation de la proportionnalité des accroissements et mise en évidence du taux d’accroissement constant ;
• Rôle du signe de ce taux dans le sens de variation ;
• Lien entre la notion de fonction croissante sur un intervalle et le signe du coefficient directeur de toute sécante à la représentation graphique de cette fonction.

Pondérer les éléments des programmes

Les documents de CEDRE, aident à pondérer les notions des programmes du cycle 4 selon les besoins de la classe de seconde et les difficultés des élèves (cycle 4 et seconde) et peuvent même aider à organiser le prochain module de « réconciliation ».

Voir pj.